概要

31歳からの数学修士 佐野岳人さん ( @taketo1024 ) の修士課程3年間の努力に敬意を表して、セミナーを開催します！

佐野さんと面識があるかどうかは問わず、数学が好きな方はwelcomeのオープンなセミナーです！ 学部2～3回生程度の予備知識を仮定した講演が多くなります。興味があれば遠慮なくご参加ください◎

主旨

佐野さん修士課程3年間お疲れさまでした！

節目のタイミングになるかと思い、ゆかりのある方々に講演を依頼して記念のセミナーを開催します。 以前から、一般向けの数学イベントでもより専門的な内容にニーズがあると感じていたので、この機会に少し専門的な講演を集めたセミナーを企画しました。 現役の研究者や学生の方、数学を教える仕事をしている方や働きながら趣味で数学を続けている方など、色々な立場の方が講演してくれます。 おもしろそうな講演が目白押しなので、是非下記の講演概要をご確認ください◎

佐野さんは社会に出てから大学院に戻り専門的に数学を学ばれましたが、そこまで本格的ではなくとも、最近は社会人の間で仕事/趣味を問わず、数学を勉強する機運が高まっているように感じます。 一方で、大学に残らず数学を活かした職業を探して就職する学生の割合も増えてきているようです。両者が交流を深めることができれば、お互いに良い影響を与え合うことができるのではないでしょうか。 今回のようなセミナーが交流の一助になれば嬉しいです。 学生の方は、社会人主催のイベントに参加するのに抵抗があるかもしれませんが、興味があればためらわずご参加ください！

もちろん社会人や学生といった区分にとらわれず、数学が好きな人たちが純粋に交流することが第一義の目的です。 「数学の輪」という意味を込めてハッシュタグは #mathmoring としました（前回のセミナーから引継ぎ。）

1日目(3月2日)の夜には会場で懇親会を予定しています。参加は当日受け付ける予定です。セミナー中はあまり休憩時間がとれなかったので、こちらにも是非ご参加ください。

対象とする参加者

• 数学に興味がある
• 数学が好きな人たちと交流したい
• 佐野さんや他の講演者と話してみたい

タイムテーブル

開催： 2019/03/02(土) 09:30 〜 19:30, 2019/03/03(日) 09:30 〜 19:30

2019/03/02(土)

2019/03/03(日)

難易度の目安

• ★☆☆☆☆：高校数学レベル
• ★★☆☆☆：理系大学生レベル（多変数の微積分、行列とベクトル）
• ★★★☆☆：数学科学部3年レベル（位相空間論、抽象代数学、...）
• ★★★★☆：数学科学部4年レベル（もっと色々）
• ★★★★★：数学専門レベル（上に非有界）

講演の概要

2019/03/02(土)

1. 結び目の代数トポロジー 〜 Khovanov homology 入門 - 佐野 岳人

2000年、M.Khovanov によって「結び目の Jones 多項式の圏論化」である Khovanov ホモロジーが構成された。「与えられた結び目が解けるか」は極めて難しい問題であるが、結び目の射影図から Khovanov ホモロジーを計算することでそれは機械的に判定できる。「圏論化」は、図形のオイラー数がその上部構造である単体的ホモロジーに持ち上げられたことのアナロジーで理解ができる。実際、結び目の Jones 多項式は Khovanov ホモロジーの次数付きオイラー標数を取ることで得られる。

講演では Khoavnov ホモロジーの構成と、その変種である Lee ホモロジーについて説明し、さらにそこから得られる Rasmussen 不変量について説明する。講演者の修士論文の内容とその発見の過程についても軽く触れたい。

2. Rogers-Ramanujan連分数に関するある等式について - 中澤 俊彦

Rogers-Ramanujan連分数は、RogersとRamanujanが独立に発見したパラメータqを含んだ連分数に関する等式です。 そして、この連分数に関連して、RamanujanはHardyに送った最初の手紙の中で、その特殊値(q=exp(-2π)とした時等の値)を明示的に表す等式を記しています（上記のwiki参照）。 今回の講演では、この等式を正20面体群に関連づけて証明する方法について、勉強した範囲で紹介します。

3. Introduction to TDA ~ From the View of Quiver Representaion ~ - 清水 超貴

データのマルチスケールな位相的な情報 (cycle の数) から,global なデータの形を抽出するTDA は工学,または Neural Network の性質解析などに使われていなくもない気がする.(実際の細かい応用は実は清水は知らない)そこで主に使用されているのは 1 次元の Persistent Homology(以下 PH と省略) であるが,これら 1 次元 PH は Interval Module による直既約分解をもち,この代数的な不変量によって完全に分類が可能である.これは Gabriel-Schmidt-Azumaya の定理から Vec_k ^R が Gram-Schmidt category であること,または離散の場合は A_n 型 quiver が finite type でその直既約表現が Interval Representaion で与えられるという事実によっている.ところが,たとえば特徴量を 2 つ以上に増やした際に自然に生じる Multi-Dimensional Persistence には一般には代数的な不変量というものは存在しないことがことが示されている.今回の発表では 1 次元の (離散, 有限) Persistence Module は Bounded Linear Quiver の表現であることを説明をし,その自然な拡張として zigzag persistence を An quiver の表現として説明をする.また,さらにその自然な拡張として multi-dimensional persistence module が現れ,それが直既約分解を持つ十分条件をいくつか見てみたいと思う.細かい内容はまだ未定だが,時間や発表者的に余裕があれば Auslander-Reiten theory や BOCS(bimodules over categories with coalgebra structure)の表現の話もできたらいいなと思っている.

4. 代数トポロジーの使い方 - 1123

ユークリッド空間の次元が位相不変であることは一見当たり前のようにも思えますが，実際に示そうと思うとそれほど容易ではありません．しかし，19世紀末にポアンカレが考案した（コ）ホモロジーの考え方を用いれば非常に見通しが良くなります．今回は，主張自体は微積や位相空間論（と時々多様体論）の知識だけで理解できるものの，実際に示すのは困難であるような定理を代数トポロジーの道具を用いて上から殴っていく様子，もとい，見通し良く証明できるようになる様子を（独断と偏見による）ランキング形式で紹介していきます．例えば，ジョルダン閉曲線定理や球面の平行化可能性など，色々な定理を時間の許す限り紹介する予定です．代数トポロジーの定理に関しては証明はせずに必要な道具を簡単に説明するに止め，定理を用いてトポロジーの問題を解く方に主眼を置いて話したいと思います．前提知識は位相空間論で，さらに特異（コ）ホモロジー群の定義を知っていると聴きやすいと思います．

5. x^2 + ny^2 の形で表せる素数と類体論 - 辻 順平@tsujimotter

4で割って1あまる素数（5, 13, 17, 29, ...）は，5 = 1^2 + 2^2, 13 = 2^2 + 3^2, 17 = 1^2 + 4^2, 29 = 2^2 + 5^2, … のように，すべて平方数の和（x^2 + y^2）の形で表せることが知られています．本講演では，この法則を一般化する方法について解説したいと思います．すなわち，一般にnを正の整数としたとき，x^2 + ny^2の形で表せる素数の法則について紹介したいと思います．この問題の背景には「類体論」と呼ばれる整数論における深い理論があります．上の問題と類体論の関わりについて，私の勉強した範囲でお伝えしたいと思います．

6. ハイパーグラフ除去補題とその相対化について- 関 真一朗

Gowersおよび Nagle-Rödl-Schacht-Skokanによって得られたハイパーグラフ除去補題およびその強い応用性を紹介する。また、Conlon-Fox-Zhaoによる相対化についても「相対化とは何か」ということと線形形式条件に焦点をあてて解説する。

2019/03/03(日)

1. レムニスケートからその先へ - 松森 至宏

レムニスケートという横8の字型をした曲線があります。適当な大きさのレムニスケートをとり、その長さの半分を、円周率を摸してレムニスケート周率と呼びます。レムニスケート周率は円周率ととてもよく似た積分表示を持ちます。また、素朴な算術を無限回行った結果に現れることがあるところも、円周率と似ています。

1799年5月30日、Gaussは1と√2の算術幾何平均がレムニスケート周率に対する円周率の比と小数点以下第11位まで一致することを発見し、「この事実の証明は必ずや解析学の全く新しい分野を拓くであろう」と日記に記したそうです。私はこの事実を知ったとき、とても驚きました。この講演では、レムニスケートを表す方程式の導出から始めて、少し一般的な形で上述の定理を証明し、最後に駆け足でGauss整数の逆4乗和をレムニスケート周率を使って表す公式を紹介します。

2. 解析力学入門 - 安部 哲哉

よく知られているように力学には三つの定式化がある。

1. ニュートン力学
2. ラグランジュ力学
3. ハミルトン力学

2と3が解析力学と呼ばれるものであり、3はシンプレクティック幾何学の起源である。

この講演では（解析力学の数学的な基礎である）変分法とルジャンドル変換について解説する。 変分法の応用として、1と2の関係を説明する。また、ルジャンドル変換の応用として、2と3の関係を説明する。

参考文献：Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics （古典力学の数学的方法）の3章

3. 同相写像をつくる - 山下 温

トポロジーでの図形（位相空間）の分類では、オイラー数のような位相不変量によって同相でない空間を区別することがしばしば強調されます。しかし、二つの与えられた空間が実際に同相であることを示すのも、場合によっては困難となりえます。この困難に取り組むための技術は、決して広く知られているとはいえませんが、位相空間論と幾何学的トポロジーとの境界ともいうべき分野において蓄積されてきました。ここでは、具体的な式で与えることが難しい同相写像を構成する方法について、できれば具体例を通じて、講演者の可能な範囲でお話ししたいと思います。

4. 結び目とエタールコホモロジー - 梅崎 直也

この講演ではエタールコホモロジーについて、それがどのような性質を持つのかを中心にお話しします。特にそれらの性質を用いることで、ある種の群や代数系の表現を幾何学的に調べることができます。具体的にはKazhdan-Lusztig多項式やSpringer対応といった話題について紹介します。また、そのような対象を通してエタールコホモロジーが結び目の研究と交わる可能性について考えてみたいと思います。

5. グレブナー基底とホモロジー代数 - グレブナー基底大好きbot

グレブナー基底は多項式環のイデアルの特殊な生成系であり、イデアルの重要な情報を持っていますぶな。その応用範囲は広く、可換環論、代数幾何学、微分方程式論、計算代数統計、暗号理論など様々な場面で登場しますぶな。今回は特にホモロジー代数との関係について発表しますぶな。具体的な内容としては、まずグレブナー基底の定義やブッフバーガーアルゴリズムを紹介した後、多項式環のホモロジー代数への応用についてお話しますぶな。例えば、グレブナー基底を使うと多項式イデアルの syzygy や有限生成加群の minimal free resolution などを計算することができ、それらを用いて Hom 関手やExt 関手などの具体的な計算ができますぶな。最後にはコンピュータで実際に計算してみたいと思いますぶな。Mathematica や Singular などの数式処理ソフトや Python のパッケージ SymPy が入ったパソコンをお持ちだとより楽しめると思いますぶな。

6. インスタントンFloerホモロジー入門 - Morse関数

多様体の(コ)ホモロジーは様々な構成方法が知られています. 例えば, (多様体を単体分割した上で)単体的ホモロジー, (無限個の単体を多様体に投げつける)特異ホモロジー, (線形偏微分方程式を考える)DeRhamコホモロジー, (層のコホモロジーの一種として)Cechコホモロジー, (Morse関数を用いる)Morseホモロジー, (一般コホモロジーの一種としての)スペクトラムを使った定義… などたくさんの構成があります. これらの(コ)ホモロジーは適切な仮定のもと互いに同型になります. 中でも今回注目したいMorseホモロジーの構成は, 力学系(フロー)の微分方程式の解を適切に数え上げることで行われます. 1980年代, Floerはある有限次元多様体(といくつかのデータ)を引数として現れる無限次元多様体とその上に定まっている関数に対して, フローの方程式を立て, その解を適切に数えることによって, Floerホモロジーと呼ばれる群を定義しました. これらは, ただ無限次元多様体の特異ホモロジーを考えるだけでは捉えられないような量になりうることが知られています. 今回の主題であるインスタントンFloerホモロジーは, Floerホモロジーの一種であって, 有向ホモロジー3球面(ホモロジーがS^3と区別のつかない3次元多様体)に対して定まるZ_8次数付きの有限生成アーベル群です. インスタントンFloerホモロジーは, その構成も無限次元の幾何を実行しているという観点から非常に面白く, さらに, 応用として3次元多様体を境界にもつ４次元多様体全体の集合にとても激しい制約を与えます. この発表では, その魅力が少しでも伝わるように頑張りたいと思います.